PHYSICAL  MEANING  OF  FOURIER  TRANSFORM

According  to  Classical Mechanics, Hamiltonian  is  the  function  of  position  and  momentum . So  we  can  describe  motion  of  classical  particles

in  position  and  momentum  space  i.e.  PHASE  SPACE .

The  path  followed  by  a  particle  in  phase  space  is  known  as  PHASE  TRAJECTORY .

But  in  Quantum Mechanics ,  the  concept  of  PHASE  SPACE  is  not  valid  due  to  uncertainty  principle  i.e.  both  position  and  momentum  can’t  be  calculated  simultaneously . So  we  can  describe  motion  of  particle  in  position  space  and  momentum  space  separately .

If  we  know  the  motion  of  particle  in  position  space  then  we  can  describe  it  in  momentum  space  using  FOURIER  TRANSFORM .

Let  f(t)  is  function  defined  in  position  space  for  all  values  of  t , then  using  Fourier  Transform  we can  get  it  in  momentum  space  i.e.

Also , we  can  return  back  from  momentum  space  to  position  space  using  FOURIER  INVERSE  TRANSFORM .

• Fourier Transform of  Gaussian  functions  is  itself  a  Gaussian . So uncertainty  product  is  minimum  for  Gaussian  functions .

• Fourier Transform of  Dirac Delta function  is  a  plane  wave . So  it  can  verify  uncertainty  principle .

• When we throw  a  particle  from  one  place  to  another  in  position  space  or  in  classical  world , we  see  that  it  changes  its  position  only , but  in  momentum  space  or  in  quantum  world , we see  that  the  particle  is  associated  with  a  number  of  waves .

• Using Fourier Transform , we  can  also  solve  some  differential  equations  like  heat  equation , wave  equation , etc .

(Lecturer  in  Physics)